Propriétés de la conjugaison

P roposition

Soit  `z=x+iy` un nombre complexe avec  `x`  et  `y`  des réels. On a alors :

• \(\overline{\overline{z}}=z\)
  
• \(z\overline{z}=x^2+y^2\)
  
• \(\text{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\)
  
• \(\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\)
  
  

Démonstration

Notons \(z'=\overline{z}=\overline{x+iy}=x-iy\) . On a alors :
\(\begin{align*} \overline{\overline{z}} =\overline{z'} =\overline{x-iy} =x+iy=z \end{align*}\) , comme voulu.

Cette propriété a déjà été vue dans la section sur l'inverse d'un nombre complexe :
\(\begin{align*} z\overline{z} =(x+iy)(x-iy) =x^2+y^2 \end{align*}\) .

On a : \(\begin{align*} \dfrac{z+\overline{z}}{2} =\dfrac{x+iy+x-iy}{2} =\dfrac{2x}{2} =x=\text{Re}(z). \end{align*}\)

On a :  \(\begin{align*} \frac{z-\overline{z}}{2i} =\frac{x+iy-(x-iy)}{2i} =\frac{x+iy-x+iy}{2i} =\frac{2iy}{2i} =y=\text{Im}(z). \end{align*}\)